W ten sposób w zmiennej users znajdują się tylko pierwsze trzy rekordy z bazy. Prościej użyc pętli for :
$size=$result->num_rows;
for($i=0;$i<$size;$i++)
{
$rekord=$result->fetch_assoc();
switch(i)
{
case 0:
echo "<img src='images/zloto.png' alt='Złoto'>".$rekord['username'].$rekord['points']."<br/>";
break;
case 1:
echo "<img src='images/srebro.png' alt='Srebro'>".$rekord['username'].$rekord['points']."<br/>";
break;
case 2:
echo "<img src='images/braz.png' alt='Brąz'>".$rekord['username'].$rekord['points']."<br/>";
break;
default:
echo $rekord['username'].$rekord['points']."<br/>";
break;
}
}